Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych

Schemat rozwiązywania równania quasiliniowego można uogólnić na przypadek funkcji zależnej od $ n $ zmiennych ( $ n\,>\,2 $). Rozpoczniemy od rozwiązywania równania liniowego jednorodnego

(1)

$ P_1(x_1,x_2,....x_n)\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_1}+P_2(x_1,x_2,....x_n)\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_2}+...+P_n(x_1,x_2,....x_n)\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_n}=0. $

Załóżmy że $ P_i,\,i=1...n, $ są funkcjami ciągłymi, które nie zerują się jednocześnie w żadnym punkcie pewnego zbioru $ U\,\subset\,R^n. $
Schemat rozwiązania równania jest następujący: zapisujemy układ równań

(2)

$ \frac{d\,x_1}{P_1}=\frac{d\,x_2}{P_2}....\frac{d\,x_n}{P_n}=d\,t $

i znajdujemy $ \,n-1\, $ niezależnych całek pierwszych

$ \psi^1(x_1,\,x_2,....x_n)=C_1,\,\,\psi^2(x_1,\,x_2,....x_n)=C_2....,\psi^{n-1}(x_1,\,x_2,....x_n)=C_{n-1}, $

tego układu.
Funkcje $ \psi^1,....\psi^{n-1} $ nazywane są charakterystykami. Żeby przekonać się, że charakterystyki są niezależne, wystarczy sprawdzić, czy rząd macierzy Jacobiego

$ J=\frac{\partial\, \left(\psi^1,\,\psi^2,...\psi^{n-1} \right)}{\partial\, \left(x_1,\,x_2,...x_{n} \right)} $

w każdym punkcie $ (x_1,\,x_2,...x_n)\,\in\,U $ jest maksymalny, czyli równy $ n-1 $.
Wykażemy

Lemat 1:

Funkcje charakterystyczne

$ \psi^k(x_1,...x_n),\,\,\,k=1,...n-1\, $

spełniają równanie ( 1 ).

Dowód Różniczkując równanie $ \,\,\psi^k(x_1,\,x_2,....x_n)=C_k,\, $ otrzymujemy

$ 0=d\,\psi^k=\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial\,\psi^k}{\partial\,x_i}\,d\,x_i=\left( \sum_{i=1}^n\,\frac{\partial\,\psi^k}{\partial\,x_i}\,P_i \right)\,d\,t. $

Ponieważ różniczka $ d\,t $ nie jest równa zeru, więc

$ \sum_{i=1}^n\,P_i \,\frac{\partial\,\psi^k}{\partial\,x_i}=0. $

Wniosek 1:

Dowolna gładka funkcja $ \Phi\left(\psi^1,\,\psi^2,...\psi^{n-1} \right) $ zachowuje stałą wartość na krzywych całkowych układu ( 2 ).

Dowód Każda charakterystyka zachowuje stałą wartość na każdym rozwiązaniu układu ( 2 ), więc każda funkcja gładka, zależna wyłącznie od charakterystyk danego układu, również zachowuje stałą wartość na jego rozwiązaniach.

Wniosek 2:

Dowolna różniczkowalna funkcja

(3)

$ z=\Phi\left(\psi^1,\,\psi^2,...\psi^{n-1} \right) $

spełnia równanie ( 1 ).

Dowód Skorzystajmy ze wzoru na pochodną cząstkową złożonej funkcji

$ \frac{\partial\,z}{\partial\,x_i}=\sum_{k=1}^{n-1}\,\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,\psi^k}\cdot\frac{\partial\,\psi^k}{\partial\,x_i}. $

Zatem

$ \sum_{i=1}^n\,P_i \cdot\frac{\partial\,z}{\partial\,x_i}=\sum_{i=1}^n\,P_i \cdot\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,\psi^k}\cdot\frac{\partial\,\psi^k}{\partial\,x_i}. $

Zmieniając kolejność sumowania, otrzymamy

$ \sum_{i=1}^n\,P_i \cdot\frac{\partial\,z}{\partial\,x_i}= \,\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\partial\,\Phi}{\partial\,\psi^k}\,\left\{ \sum_{i=1}^n\,P_i\cdot\frac{\partial\,\psi^k}{\partial\,x_i}\right\}=0. $

Ostatnia równość wynika stąd, że, na mocy lematu 1, suma w nawiasach klamrowych jest równa zeru.
Zachodzi również

Twierdzenie 1:

Dowolne rozwiązanie równania ( 1 ) można przedstawić w postaci ( 3 ).

Dowód tego twierdzenia pomijamy.

Przykład 1:

Rozwiążmy równanie

$ x_1\,x_n\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_1}+x_2\,x_n\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_2}+...+x_{n-1}x_n\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_{n-1}}=0. $

Rozwiązanie

1. Zapisujemy układ charakterystyczny:

$ \frac{d\,x_1}{x_1\,x_n}=\frac{d\,x_2}{x_2\,x_n}=...=\frac{d\,x_{n-1}}{x_{n-1}\,x_n}=\frac{d\,x_n}{0}=d\,t. $

Całkując ostatnie równanie układu, otrzymujemy charakterystykę

$ \psi^1: x_n=C_1. $

Przyrównując teraz po kolei pierwsze wyrażenie do drugiego, trzeciego i t.d., otrzymamy całkując pozostałe charakterystyki:

$ \psi^2: \frac{x_1}{x_2}=C_2, \quad \psi^3: \frac{x_1}{x_3}=C_3,... \psi^{n-1}: \frac{x_1}{x_{n-1}}=C_{n-1}. $

2. Obliczamy macierz Jacobiego

$ J=\left( \begin{array}{lllllll} 0, & 0,& 0, &....& 0,& 0, & 1 \\1/x_2, & -x_1/x_2^2, & 0, &.... & 0, & 0, & 0 \\ 1/x_3, & 0, & -x_1/x_3^2,& ....& 0, & 0, & 0 \\... &...&...&...&...&...&... \\ 1/x_{n-1}, & 0,& 0, &... & 0, & -x_1/x_{n-1}^2, & 0\end{array} \right) $

Skreślając pierwszą kolumnę macierzy $ J $, otrzymamy macierz kwadratową wymiaru $ (n-1)\,\times\,(n-1) $

$ J_1=\left( \begin{array}{lllll} 0, & 0, &....& 0, & 1 \\ -x_1/x_2^2, & 0, &.... &0, &0 \\ 0, & -x_1/x_3^2,& 0....& 0, & 0 \\... &...&....& ....&...... \\ 0,&... & 0, & -x_1/x_{n-1}^2, & 0\end{array} \right). $

Rozwijając wyznacznik tej oraz kolejnych macierzy względem pierwszej kolumny, otrzymamy:

$ \det{J_1}=\frac{x_1}{x_2^2}\,\frac{x_1}{x_3^2}....\frac{x_1}{x_{n-1}^2}=\frac{x_1^{n-2}}{\left(x_2\,x_3...x_{n-1} \right)^2}. $

Wyrażenie to nie jest równe zeru i jest dobrze okreslone w dowolnym obszarze, który nie przecina żadnej z osi współrzędnych.

3. Przedstawiamy rozwiązanie ogólne równania w postaci

$ z=\Phi\left(x_n,\,\frac{x_1}{x_2},\,\frac{x_1}{x_3},....\frac{x_1}{x_{n-1}} \right). $

Okazuje się, że rozwiązywanie quasiliniowego niejednorodnego równania skalarnego zawsze można sprowadzić do rozwiązywanie równania liniowego jednorodnego, w którym poszukiwana funkcja ma o jedną zmienną więcej.
Rozpatrzmy równanie postaci u

(4)

$ \sum_{i=1}^n\,P_i\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_i}=R\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right). $

Analogicznie, jak dla przypadku funkcji zależnej od dwóch zmiennych, można poszukiwać rózwiązania równania ( 4 ) w postaci uwikłanej

$ u\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)=0, $

dodając warunek $ u_z\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)\,\neq\,0, $ który umożliwia przejście do jawnej postaci. Traktując w powyższym wzorze $ z $ jako funkcję zmiennych $ x_1,\,x_2,....x_n $ i różniczkując względem $ x_i $ lewą i prawą stronę wzoru

(5)

$ u\left[x_1,\,x_2,....x_n;\,z(x_1,\,x_2,...,z_n) \right]=0, $

otrzymamy:

$ \frac{\partial\,u}{\partial\,x_i}+\frac{\partial\,u}{\partial\,z}\,\frac{\partial\,z}{\partial\,x_i}=0, \qquad i=1,\,2,....,n. $

Zatem

(6)

$ \frac{\partial \,z}{\partial\,x_i}=-\frac{\partial \,u/\partial\,x_i}{\partial \,u/\partial\,z}. $

Podstawiając ( 6 ) do równania ( 1 ), mnożąc przez $ -u_z $ i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymamy liniowe jednorodne równanie względem funkcji $ u $:

(7)

$ \sum_{i=1}^n\,P_i\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)\,\frac{\partial\,u}{\partial\,x_i}+R\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)\,\frac{\partial\,u}{\partial\,z}=0. $

Żeby zatem określić rozwiązanie równania ( 4 ), należy rozwiązać równanie ( 7 ) wzlędem funkcji $ u $, a następnie, o ile jest to możliwe, uzyskać jawną postać $ z=\varphi(x_1,...x_n) $, rozwikłując wzór $ u\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)=0 $ względem ostatniej zmiennej.
Procedura rozwiązania równania ( 7 ) jest nam już znana z poprzednimch rozważań: zapisujemy stowarzyszone równanie charakterystyczne

$ \frac{d\,x_1}{P_1}=\frac{d\,x_2}{P_2}=...=\frac{d\,x_n}{P_n}=\frac{d\,z}{R}, $

znajdujemy $ n $ niezależnych całek pierwszych

$ \psi^1(x_1,..x_n;\,z)=C_1,....,\psi^n(x_1,..x_n;\,z)=C_n, $

a następnie konstruujemy z nich rozwiązanie ogólne postaci

(8)

$ \Phi\left(\psi^1,\,....\psi^n \right)=0, $

gdzie $ \Phi $ jest to dowolna funkcja $ n $ zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły po każdym ze swoich argumentów.

Uwaga 1:

Oprócz rozwiązania ogólnego ( 8 ) , równanie ( 7 ), a zatem również i ( 4 ) może posiadać rozwiązania specjalne

(9)

$ \Phi_k\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)=0, \qquad k\,\in \,I, $

dla których

$ \sum_{i=1}^n\,P_i\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)\,\frac{\partial\,\Phi_k}{\partial\,x_i}+R\left(x_1,\,x_2,....x_n;\,z \right)\,\frac{\partial\,\Phi_k}{\partial\,z}\,\neq\,0, $

Wówczas jednak lewa strona powyższego wzoru zeruje się przy uwzględnieniu warunku ( 9 ). W pewnym sensie rozwiązań takich nie jest dużo, i dlatego indeksujemy je, na ogół skończonym, podzbiorem $ I\,\in\,\mathbb{N}. $ Co więcej, rozwiązań takich może nie istniec wcale.

Pokażemy że pole wektorowe skojarzone z rozpatrzonym wcześniej układem, w którym, na skutek bifurkacji Hopfa (zob. moduł Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym ), powstaje nieliniowe rozwiązanie okresowe, posiada co najmniej jedno rozwiązanie osobliwe.

$Wizualizacja pola wektorowego określonego przez prawe strony układu ((Automatycznie|#skal_wz10))-((Automatycznie|#skal_wz11)). oraz trzy różne rozwiązania tego układu. Jedynie rozwiązanie {OPENAGHMATHJAX()}x^2+y^2=\mu{OPENAGHMATHJAX} (czerwony okrąg) ma prostą geometryczną strukturę, jako że nie zależy od zmiennej kątowej {OPENAGHMATHJAX()}\phi{OPENAGHMATHJAX}.$

Rysunek 1: Wizualizacja pola wektorowego określonego przez prawe strony układu ( 10 )-( 11 ). oraz trzy różne rozwiązania tego układu. Jedynie rozwiązanie $ x^2+y^2=\mu $ (czerwony okrąg) ma prostą geometryczną strukturę, jako że nie zależy od zmiennej kątowej $ \phi $.

Rozpatrzmy znany z Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym układ dynamiczny

(10)

$ \frac{d\,x}{d\,t}=\mu\,x-\omega\,y-x\,\left(x^2+y^2\right), $

(11)

$ \frac{d\,y}{d\,t}=\omega\,x+\mu\,y-y\,\left(x^2+y^2 \right), $

dopełniony równaniem

(12)

$ \frac{d\,u}{d\,t}=0. $

Układ jest postacią charakterystyczną równania

(13)

$ \left[ \mu\,x-\omega\,y-x\,\left(x^2+y^2 \right) \right]\frac{\partial\,u}{\partial\,x}+\left[ \omega\,x+\mu\,y-y\,\left(x^2+y^2 \right) \right]\frac{\partial\,u}{\partial\,y} =0. $

Ponieważ analiza problemu w układzie katrezjańskim jest bardzo trudna, skorzystajmy, jak wyżej przy rozpatrzeniu bifurkacji Hopfa, z reprezentacji biegunowej. Najprościej można do niej przejść, wprowadzając zmienną zespolonąc $ z=x+i\,y $ i zapisując postać zespoloną układu ( 10 ), ( 11 ) :

(14)

$ \frac{d\,z}{d\,t}=(\mu+i\,\omega)\,z-z\,|z|^2 $

(równanie ( 12 ) przy tym, oczywiście, nie ulegnie zmianie). Przechodząc dalej do reprezentacji biegunowej $ z=r\,e^{i\,\varphi} $, otrzymamy równanie:

$ \frac{d\,r}{d\,t}\,e^{i\,\varphi}+\frac{d\,\varphi}{d\,t}\,r\,e^{i\,\varphi}=(\mu+i\,\omega)\,r\,e^{i\,\varphi}-r^3\,e^{i\,\varphi}. $

Przyrównując do siebie części rzeczywiste i zespolone występujące w równaniu, oraz dodając ( 12 ), otrzymamy następujący układ charakterystyczny:

(15)

$ \frac{d\,r}{d\,t}=r\,\left(\mu-r^2\right), $

(16)

$ \frac{d\,\varphi}{d\,t}=\omega, $

(17)

$ \frac{d\,u}{d\,t}=0. $

Układowi temu odpowiada biegunowa reprezentacja równania ( 13 ):

(18)

$ r\,\left(\mu-r^2\right)\,\frac{\partial\,u}{\partial\,r}+\omega\,\frac{\partial\,u}{\partial\,\varphi}=0. $

Przyrównując do siebie i całkując najpierw pierwszy i drugi, a następnie, na przykład, drugi i trzeci wyraz układu charakterystyk

$ \frac{d\,r}{r\,\left(\mu-r^2\right)}= \frac{d\,\varphi}{\omega}= \frac{d\,u}{0} $

otrzymamy następujące całki pierwsze:

$ \phi^1: \frac{r^2-\mu}{r^2}\,\exp{\frac{2\,\mu}{\omega}\,\varphi}=C_1, \qquad \phi^2: u=C_2. $

Zatem równanie

(19)

$ \Phi\left[ \frac{r^2-\mu}{r^2}\,\exp{\frac{2\,\mu}{\omega}\,\varphi},\,u \right]=0, $

gdzie $ \Phi $ jest to dowolna różniczkowalna funkcja dwóch zmiennych, określa w postaci niejawnej rozwiązanie ogólne równania ( 18 ).

Rozpatrzmy teraz funkcję

$ \Phi_1: r^2-\mu=0. $

Działając na nią operatorem występującym w ( 18 ) otrzymamy, że

$ \left\{ r\,\left(\mu-r^2\right)\,\frac{\partial\,}{\partial\,r}+\omega\,\frac{\partial\,}{\partial\,\varphi} \right\}\,\Phi_1=2\,r^2\,\left(\mu-r^2\right)|_{\Phi_1=0}=0. $

Równanie $ \Phi_1=r^2-\mu=0 $ określa zatem rozwiązanie osobliwe nie należące do rodziny ( 19 ).
Interpretację geometryczną wyjaśniającą genezę rozwiązania osobliwego można pokazać na Rys. 1. Jest tam pokazane pole wektorowe, odpowiadające prawym stronom układu ( 10 ) - ( 11 ) oraz trajektoria fazowa, odpowiadająca rozwiązaniu okresowemu, które jest reprezentowane równaniem $ r^2-\mu=0. $

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka